ε !
Problem 3 ( 5 + 5 points ) A subset K ⊂ M of a topological space ( M , T ) is called compact , if from any open covering of K one can choose a finite subcovering .
More precisely, K is compact if the following holds true:
www.mathematik.uni-mainz.deε !
Aufgabe 3 (5 + 5 Punkte) Eine Teilmenge K ⊂ M eines topologischen Raums (M, T ) heißt kompakt, falls aus jeder offenen Überdeckung von K eine endliche Teilüberdeckung ausgewählt werden kann.
Genauer ist K kompakt, falls folgendes gilt:
www.mathematik.uni-mainz.decompact implies closed and bounded, b ) :
closed and bounded implies compact Here , a subset A of a topological space ( M , T ) is called closed if its complement M \ A is open .
Hint :
www.mathematik.uni-mainz.dekompakt impliziert abgeschlossen und beschra ̈ nkt, b ) :
abgeschlossen und beschränkt impliziert kompakt Dabei heißt eine Teilmenge A eines topologischen Raums (M, T ) abgeschlossen, falls ihr Komplement M\A offen ist.
Hinweis:
www.mathematik.uni-mainz.de( i ) ∅ ∈ T, M ∈ T, ( ii ) A, B ∈ T = ⇒ A ∩ B ∈ T ( i.e., T is closed under finite intersections ), ( iii ) { Aα } α ∈ I ⊂ T = ⇒ ⋃ α ∈ I Aα ∈ T ( i.e., T is closed under arbitrary unions ).
The pair ( M , T ) is called topological space , and the sets contained in T are called open .
Recall :
www.mathematik.uni-mainz.de( i ) ∅ ∈ T, M ∈ T, ( ii ) A, B ∈ T = ⇒ A ∩ B ∈ T ( d.h., T ist abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten ), ( iii ) { Aα } α ∈ I ⊂ T = ⇒ ⋃ α ∈ I Aα ∈ T ( d.h., T ist abgeschlossen unter beliebigen Vereinigungen ).
Das Paar (M, T ) heißt topologischer Raum, und die in T enthaltenen Mengen werden als offen bezeichnet.
Erinnerung :
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